Maximal size of a set of pairwise mutually orthogonal diagonal Latin squares of order n, https://oeis.org/A328873 n=1, a(1)=1 Article 1: E. I. Vatutin, M. O. Manzuk, V. S. Titov, S. E. Kochemazov, A. D. Belyshev, N. N. Nikitina, Orthogonality-based classification of diagonal latin squares of orders 1-8, High-performance computing systems and technologies. Vol. 3. No. 1. 2019. pp. 94-100. (in Russian) http://evatutin.narod.ru/evatutin_ls_all_structs_n1to8_art.pdf Article 2: E. I. Vatutin, N. N. Nikitina, M. O. Manzuk, O. S. Zaikin, A. D. Belyshev, Cliques properties from diagonal Latin squares of small order, Intellectual and Information Systems (Intellect - 2019). Tula, 2019. pp. 17-23. (in Russian) http://evatutin.narod.ru/evatutin_dls_cliques_properties.pdf Way of finding: brute force # 1 0 n=2, a(2)=0 - n=3, a(3)=0 - n=4, a(4)=2 Article 1: E. I. Vatutin, M. O. Manzuk, V. S. Titov, S. E. Kochemazov, A. D. Belyshev, N. N. Nikitina, Orthogonality-based classification of diagonal latin squares of orders 1-8, High-performance computing systems and technologies. Vol. 3. No. 1. 2019. pp. 94-100. (in Russian) http://evatutin.narod.ru/evatutin_ls_all_structs_n1to8_art.pdf Article 2: E. I. Vatutin, N. N. Nikitina, M. O. Manzuk, O. S. Zaikin, A. D. Belyshev, Cliques properties from diagonal Latin squares of small order, Intellectual and Information Systems (Intellect - 2019). Tula, 2019. pp. 17-23. (in Russian) http://evatutin.narod.ru/evatutin_dls_cliques_properties.pdf Way of finding: brute force # 1 0 1 2 3 2 3 0 1 3 2 1 0 1 0 3 2 # 2 0 1 2 3 3 2 1 0 1 0 3 2 2 3 0 1 n=5, a(5)=2 Article 1: E. I. Vatutin, M. O. Manzuk, V. S. Titov, S. E. Kochemazov, A. D. Belyshev, N. N. Nikitina, Orthogonality-based classification of diagonal latin squares of orders 1-8, High-performance computing systems and technologies. Vol. 3. No. 1. 2019. pp. 94-100. (in Russian) http://evatutin.narod.ru/evatutin_ls_all_structs_n1to8_art.pdf Article 2: E. I. Vatutin, N. N. Nikitina, M. O. Manzuk, O. S. Zaikin, A. D. Belyshev, Cliques properties from diagonal Latin squares of small order, Intellectual and Information Systems (Intellect - 2019). Tula, 2019. pp. 17-23. (in Russian) http://evatutin.narod.ru/evatutin_dls_cliques_properties.pdf Way of finding: brute force # 1 0 1 2 3 4 2 3 4 0 1 4 0 1 2 3 1 2 3 4 0 3 4 0 1 2 # 2 0 1 2 3 4 3 4 0 1 2 1 2 3 4 0 4 0 1 2 3 2 3 4 0 1 n=6, a(6)=1 Article 1: E. I. Vatutin, M. O. Manzuk, V. S. Titov, S. E. Kochemazov, A. D. Belyshev, N. N. Nikitina, Orthogonality-based classification of diagonal latin squares of orders 1-8, High-performance computing systems and technologies. Vol. 3. No. 1. 2019. pp. 94-100. (in Russian) http://evatutin.narod.ru/evatutin_ls_all_structs_n1to8_art.pdf Article 2: E. I. Vatutin, N. N. Nikitina, M. O. Manzuk, O. S. Zaikin, A. D. Belyshev, Cliques properties from diagonal Latin squares of small order, Intellectual and Information Systems (Intellect - 2019). Tula, 2019. pp. 17-23. (in Russian) http://evatutin.narod.ru/evatutin_dls_cliques_properties.pdf Way of finding: brute force # 1 0 1 2 3 4 5 1 2 0 5 3 4 4 3 5 0 2 1 3 5 1 4 0 2 5 4 3 2 1 0 2 0 4 1 5 3 n=7, a(7)=4 Article 1: E. I. Vatutin, M. O. Manzuk, V. S. Titov, S. E. Kochemazov, A. D. Belyshev, N. N. Nikitina, Orthogonality-based classification of diagonal latin squares of orders 1-8, High-performance computing systems and technologies. Vol. 3. No. 1. 2019. pp. 94-100. (in Russian) http://evatutin.narod.ru/evatutin_ls_all_structs_n1to8_art.pdf Article 2: E. I. Vatutin, N. N. Nikitina, M. O. Manzuk, O. S. Zaikin, A. D. Belyshev, Cliques properties from diagonal Latin squares of small order, Intellectual and Information Systems (Intellect - 2019). Tula, 2019. pp. 17-23. (in Russian) http://evatutin.narod.ru/evatutin_dls_cliques_properties.pdf Way of finding: brute force # 1 0 1 2 3 4 5 6 2 3 1 5 6 4 0 5 6 4 0 1 2 3 4 0 6 2 3 1 5 6 2 0 1 5 3 4 1 5 3 4 0 6 2 3 4 5 6 2 0 1 # 2 0 1 2 3 4 5 6 6 2 0 1 5 3 4 3 4 5 6 2 0 1 1 5 3 4 0 6 2 2 3 1 5 6 4 0 4 0 6 2 3 1 5 5 6 4 0 1 2 3 # 3 0 1 2 3 4 5 6 5 6 4 0 1 2 3 1 5 3 4 0 6 2 6 2 0 1 5 3 4 3 4 5 6 2 0 1 2 3 1 5 6 4 0 4 0 6 2 3 1 5 # 4 0 1 2 3 4 5 6 3 4 5 6 2 0 1 4 0 6 2 3 1 5 2 3 1 5 6 4 0 5 6 4 0 1 2 3 6 2 0 1 5 3 4 1 5 3 4 0 6 2 n=8, a(8)=6 Article 1: E. I. Vatutin, M. O. Manzuk, V. S. Titov, S. E. Kochemazov, A. D. Belyshev, N. N. Nikitina, Orthogonality-based classification of diagonal latin squares of orders 1-8, High-performance computing systems and technologies. Vol. 3. No. 1. 2019. pp. 94-100. (in Russian) http://evatutin.narod.ru/evatutin_ls_all_structs_n1to8_art.pdf Article 2: E. I. Vatutin, N. N. Nikitina, M. O. Manzuk, O. S. Zaikin, A. D. Belyshev, Cliques properties from diagonal Latin squares of small order, Intellectual and Information Systems (Intellect - 2019). Tula, 2019. pp. 17-23. (in Russian) http://evatutin.narod.ru/evatutin_dls_cliques_properties.pdf Way of finding: brute force # 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 3 0 1 6 7 4 5 4 5 6 7 0 1 2 3 6 7 4 5 2 3 0 1 3 2 1 0 7 6 5 4 1 0 3 2 5 4 7 6 7 6 5 4 3 2 1 0 5 4 7 6 1 0 3 2 # 2 0 1 2 3 4 5 6 7 3 2 1 0 7 6 5 4 6 7 4 5 2 3 0 1 5 4 7 6 1 0 3 2 7 6 5 4 3 2 1 0 4 5 6 7 0 1 2 3 1 0 3 2 5 4 7 6 2 3 0 1 6 7 4 5 # 3 0 1 2 3 4 5 6 7 4 5 6 7 0 1 2 3 3 2 1 0 7 6 5 4 7 6 5 4 3 2 1 0 6 7 4 5 2 3 0 1 2 3 0 1 6 7 4 5 5 4 7 6 1 0 3 2 1 0 3 2 5 4 7 6 # 4 0 1 2 3 4 5 6 7 5 4 7 6 1 0 3 2 1 0 3 2 5 4 7 6 4 5 6 7 0 1 2 3 2 3 0 1 6 7 4 5 7 6 5 4 3 2 1 0 3 2 1 0 7 6 5 4 6 7 4 5 2 3 0 1 # 5 0 1 2 3 4 5 6 7 6 7 4 5 2 3 0 1 7 6 5 4 3 2 1 0 1 0 3 2 5 4 7 6 5 4 7 6 1 0 3 2 3 2 1 0 7 6 5 4 2 3 0 1 6 7 4 5 4 5 6 7 0 1 2 3 # 6 0 1 2 3 4 5 6 7 7 6 5 4 3 2 1 0 5 4 7 6 1 0 3 2 2 3 0 1 6 7 4 5 1 0 3 2 5 4 7 6 6 7 4 5 2 3 0 1 4 5 6 7 0 1 2 3 3 2 1 0 7 6 5 4 n=9, a(9)=6 Announcement: https://vk.com/wall162891802_1497, Eduard I. Vatutin, Dec 14 2020 Way of finding: brute force using X-based fillings # 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 0 4 7 6 8 3 5 5 3 4 6 8 7 1 0 2 7 6 8 1 2 0 3 5 4 6 8 7 2 5 3 4 1 0 4 0 3 7 1 8 5 2 6 8 5 6 0 3 2 7 4 1 3 4 5 8 0 1 2 6 7 2 7 1 5 6 4 0 8 3 # 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 5 3 8 2 6 7 0 1 4 1 8 6 5 3 4 7 2 0 8 0 7 4 5 3 2 6 1 3 4 1 7 2 6 8 0 5 7 6 5 0 8 1 3 4 2 2 7 4 1 0 8 5 3 6 4 5 0 6 7 2 1 8 3 6 2 3 8 1 0 4 5 7 # 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 3 4 6 1 8 0 7 5 2 6 2 5 7 0 1 4 8 3 4 5 1 8 6 2 0 3 7 8 6 0 5 7 4 3 2 1 2 7 8 6 5 3 1 0 4 5 8 3 4 1 7 2 6 0 7 0 4 2 3 6 8 1 5 1 3 7 0 2 8 5 4 6 # 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 6 8 7 5 2 3 4 0 1 4 6 1 8 5 0 2 3 7 5 2 6 7 0 4 1 8 3 1 3 8 4 6 7 0 5 2 8 5 4 1 3 2 7 6 0 7 0 5 6 8 1 3 2 4 2 7 3 0 1 8 5 4 6 3 4 0 2 7 6 8 1 5 # 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 5 4 8 0 1 2 6 3 8 0 7 4 6 2 3 5 1 1 8 5 6 3 7 4 2 0 2 7 3 0 1 8 5 4 6 6 3 1 5 2 4 0 8 7 3 4 0 2 7 6 8 1 5 5 2 6 1 8 0 7 3 4 4 6 8 7 5 3 1 0 2 # 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 7 3 0 1 8 5 4 6 7 5 8 1 2 3 0 6 4 6 3 4 5 8 1 7 0 2 4 0 5 6 3 2 1 8 7 3 4 0 2 7 6 8 1 5 1 2 7 8 6 0 4 5 3 8 6 1 7 5 4 3 2 0 5 8 6 4 0 7 2 3 1 n=10, a(10)>=2 Announcement: ? (well known fact from Parker et al., 1960) Way of finding: Euler-Parker method # 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 0 4 3 6 5 9 7 8 2 0 1 5 6 3 4 8 9 7 3 4 5 7 9 8 1 6 2 0 5 7 4 9 8 0 2 1 6 3 6 9 8 1 2 4 7 3 0 5 8 3 7 6 0 1 9 2 5 4 9 6 3 0 7 2 8 5 4 1 7 5 6 8 1 9 0 4 3 2 4 8 9 2 5 7 3 0 1 6 # 2 1 3 4 5 6 7 0 8 9 2 5 8 7 9 0 2 4 6 3 1 6 2 9 8 3 1 5 4 7 0 3 4 1 2 8 6 7 9 0 5 2 6 3 4 7 9 1 0 5 8 4 1 2 6 5 0 9 7 8 3 0 9 5 1 4 8 3 2 6 7 9 7 6 0 1 3 8 5 2 4 7 0 8 3 2 5 6 1 4 9 8 5 0 7 9 4 2 3 1 6 n=11, a(11)>=8 Announcement: - (well known fact: for prime n Latin squares forms full MOLS) Way of finding: cyclic diagonal Latin squares # 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 # 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 # 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 # 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 # 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 # 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 # 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 # 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 n=12, a(12)>=4 Announcement: https://boinc.multi-pool.info/latinsquares/forum_thread.php?id=120&postid=2217, Natalia Makarova, May 30 2021 Way of finding: ? # 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 3 5 0 9 7 4 2 11 6 8 10 4 9 8 6 1 11 0 10 5 3 2 7 5 7 1 2 11 3 8 0 9 10 4 6 7 2 3 5 10 0 11 1 6 8 9 4 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3 0 7 1 6 2 9 5 10 4 11 8 6 4 10 9 0 8 3 11 2 1 7 5 2 5 0 7 8 1 10 3 4 11 6 9 8 11 4 10 5 9 2 6 1 7 0 3 9 6 11 4 3 10 1 8 7 0 5 2 10 8 6 11 2 4 7 9 0 5 3 1 # 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 5 0 7 8 1 10 3 4 11 6 9 3 0 7 1 6 2 9 5 10 4 11 8 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 5 7 1 2 11 3 8 0 9 10 4 6 10 8 6 11 2 4 7 9 0 5 3 1 9 6 11 4 3 10 1 8 7 0 5 2 8 11 4 10 5 9 2 6 1 7 0 3 6 4 10 9 0 8 3 11 2 1 7 5 4 9 8 6 1 11 0 10 5 3 2 7 7 2 3 5 10 0 11 1 6 8 9 4 1 3 5 0 9 7 4 2 11 6 8 10 # 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1 1 5 15 16 17 18 2 14 4 13 3 7 12 10 8 6 11 9 8 2 6 15 16 17 18 1 5 14 4 13 11 9 7 12 10 3 14 9 3 7 15 16 17 2 6 1 5 12 10 8 13 11 4 18 13 1 10 4 8 15 16 3 7 2 6 11 9 14 12 5 18 17 12 14 2 11 5 9 15 4 8 3 7 10 1 13 6 18 17 16 11 13 1 3 12 6 10 5 9 4 8 2 14 7 18 17 16 15 3 12 14 2 4 13 7 6 10 5 9 1 8 18 17 16 15 11 9 10 11 12 13 14 1 15 16 17 18 8 7 6 5 4 3 2 6 7 8 9 10 11 12 18 17 16 15 5 4 3 2 1 14 13 5 6 7 8 9 10 11 16 15 18 17 4 3 2 1 14 13 12 7 8 9 10 11 12 13 17 18 15 16 6 5 4 3 2 1 14 4 15 16 17 18 1 8 13 3 12 2 14 6 11 9 7 5 10 15 16 17 18 14 7 9 12 2 11 1 3 13 5 10 8 6 4 16 17 18 13 6 8 3 11 1 10 14 15 2 12 4 9 7 5 17 18 12 5 7 2 4 10 14 9 13 16 15 1 11 3 8 6 18 11 4 6 1 3 5 9 13 8 12 17 16 15 14 10 2 7 10 3 5 14 2 4 6 8 12 7 11 18 17 16 15 13 9 1 2 4 13 1 3 5 14 7 11 6 10 9 18 17 16 15 12 8 # 2 1 8 14 13 12 11 3 9 6 5 7 4 15 16 17 18 10 2 5 2 9 1 14 13 12 10 7 6 8 15 16 17 18 11 3 4 15 6 3 10 2 1 14 11 8 7 9 16 17 18 12 4 5 13 16 15 7 4 11 3 2 12 9 8 10 17 18 13 5 6 14 1 17 16 15 8 5 12 4 13 10 9 11 18 14 6 7 1 2 3 18 17 16 15 9 6 13 14 11 10 12 1 7 8 2 3 4 5 2 18 17 16 15 10 7 1 12 11 13 8 9 3 4 5 6 14 14 1 2 3 4 5 6 15 16 17 18 13 12 11 10 9 8 7 4 5 6 7 8 9 10 17 18 15 16 3 2 1 14 13 12 11 13 14 1 2 3 4 5 18 17 16 15 12 11 10 9 8 7 6 3 4 5 6 7 8 9 16 15 18 17 2 1 14 13 12 11 10 7 13 12 11 10 2 1 8 5 4 6 14 3 15 16 17 18 9 12 11 10 9 1 14 8 7 4 3 5 6 13 2 15 16 17 18 10 9 8 14 13 7 18 6 3 2 4 11 5 12 1 15 16 17 8 7 13 12 6 18 17 5 2 1 3 9 10 4 11 14 15 16 6 12 11 5 18 17 16 4 1 14 2 7 8 9 3 10 13 15 11 10 4 18 17 16 15 3 14 13 1 5 6 7 8 2 9 12 9 3 18 17 16 15 11 2 13 12 14 10 4 5 6 7 1 8 n=19, a(19)>=16 Announcement: - (well known fact: for prime n Latin squares forms full MOLS) Way of finding: cyclic diagonal Latin squares # 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